题目
question_image: {"text":"","images":[""]} answer_image: {"text":"","images":[]} student_error_analysis: subject: AI自动判断 grade: AI自动判断
学案解答
一、基础知识点梳理
| 知识点名称 | 具体内容（公式/定理/概念） | 对应题目应用场景 |
|---|---|---|
| 二次函数顶点式的对称轴 | 对于顶点式 \( y = a(x + h)^2 \)（可转化为 \( y = a[x - (-h)]^2 \)），对称轴为直线 \( x = -h \) | 已知对称轴 \( x = -2 \)，求参数 \( h \) 的值 |
| 待定系数法求二次函数解析式 | 已知函数图象上一点的坐标，代入解析式建立关于未知系数的方程并求解 | 将点 \( (1, -3) \) 代入 \( y = a(x + 2)^2 \)，求参数 \( a \) 的值 |
| 二次函数的增减性 | 若 \( a < 0 \)（开口向下），则在对称轴左侧 \( y \) 随 \( x \) 增大而增大；若 \( a > 0 \)（开口向上），则在对称轴右侧增大 | 已知 \( a = -\frac{1}{3} < 0 \) 和对称轴 \( x = -2 \)，判断 \( y \) 增大的区间 |
二、读题与解题思路构建
关键条件提取
- 显性条件：抛物线形式 \( y = a(x + h)^2 \)、对称轴 \( x = -2 \)、过点 \( (1, -3) \)
- 隐性条件：顶点坐标为 \( (-h, 0) \)（因顶点式中常数项 \( k = 0 \)）、\( a \neq 0 \)（二次函数定义）
- 干扰信息：无（所有条件均为求解必需）
思路框架构建
- 用对称轴公式求 \( h \)；
- 代入已知点坐标求 \( a \)，确定解析式；
- 由顶点式结构直接写顶点坐标；
- 结合开口方向+对称轴分析增减性。
三、标准解法分步拆解
（1）求抛物线的解析式
💡知识点：二次函数顶点式的对称轴、待定系数法
🔧技能点：符号转化能力、方程求解能力
为什么这么做？：顶点式中 \( h \) 与对称轴直接关联，需先求 \( h \) 才能代入点求 \( a \)
用了什么条件？：对称轴 \( x = -2 \)、点 \( (1, -3) \)
步骤拆解：
- 列对称轴方程：由 \( x = -h = -2 \)，得 \( h = 2 \)（陷阱：易记成 \( x = h \) 导致 \( h = -2 \)）；
- 简化解析式：\( y = a(x + 2)^2 \)；
- 代入点求 \( a \)：将 \( (1, -3) \) 代入得 \( -3 = a(1+2)^2 = 9a \)，解得 \( a = -\frac{1}{3} \)；
- 写解析式：\( y = -\frac{1}{3}(x + 2)^2 \)。
🚫陷阱提醒：符号混淆是核心易错点！需将 \( y = a(x + h)^2 \) 转化为 \( y = a[x - (-h)]^2 \)，明确对称轴是“括号内常数的相反数”。
（2）求抛物线的顶点坐标
💡知识点：二次函数顶点式的顶点坐标
🔧技能点：顶点式结构识别能力
为什么这么做？：顶点式 \( y = a(x + h)^2 \) 的顶点是 \( (-h, 0) \)（因 \( k = 0 \)）
用了什么条件？：解析式 \( y = -\frac{1}{3}(x + 2)^2 \)
步骤拆解：
- 对比标准顶点式 \( y = a(x - m)^2 + k \)，得 \( m = -2 \)，\( k = 0 \)；
- 顶点坐标为 \( (-2, 0) \)（陷阱：易错写成 \( (2, 0) \)，需记住“顶点横坐标=对称轴的值”）。
🚫陷阱提醒：可通过“对称轴就是顶点横坐标”快速验证，避免符号错误。
（3）判断 \( y \) 随 \( x \) 增大而增大的区间
💡知识点：二次函数的增减性
🔧技能点：开口方向与对称轴结合分析能力
为什么这么做？：增减性由开口方向（\( a \) 的符号）和对称轴共同决定，缺一不可
用了什么条件？：\( a = -\frac{1}{3} < 0 \)（开口向下）、对称轴 \( x = -2 \)
步骤拆解：
- 开口方向：\( a < 0 \) → 开口向下；
- 增减性规律：开口向下时，对称轴左侧 \( y \) 随 \( x \) 增大而增大；
- 结论：当 \( x < -2 \) 时，\( y \) 随 \( x \) 增大而增大（陷阱：易忽略开口方向，错答 \( x > -2 \)）。
🚫陷阱提醒：用口诀辅助记忆——“开口向下，左增右减；开口向上，左减右增”。
四、总结与费曼学习法自检
核心知识点与技能点
- 知识点：顶点式的对称轴/顶点、待定系数法、增减性
- 技能点：符号转化、条件关联、逻辑分析
费曼连环三问（自检）
-
问：为什么抛物线 \( y = a(x + h)^2 \) 的对称轴是 \( x = -h \)，而不是 \( x = h \)？
答：因为标准顶点式是 \( y = a(x - m)^2 + k \)，对称轴是 \( x = m \)。题目中的 \( y = a(x + h)^2 \) 可写成 \( y = a[x - (-h)]^2 \)，对比标准式得 \( m = -h \)，所以对称轴是 \( x = -h \)。如果记反符号，会导致 \( h \) 计算错误，比如本题中会错算 \( h = -2 \)，解析式全错。 -
问：如果求 \( a \) 时错算 \( (1+2)^2 = 6 \)（实际是9），会导致 \( a \) 错成多少？如何避免？
答：若 \( (1+2)^2 = 6 \)，则 \( -3 = 6a \)，\( a = -\frac{1}{2} \)，解析式错为 \( y = -\frac{1}{2}(x + 2)^2 \)。避免方法：代入点时分步计算（先算括号内，再平方），用草稿纸写清楚每一步，不要口算；计算后复查（比如 \( 3^2 = 9 \) 不是6）。 -
问：如果抛物线是 \( y = a(x - h)^2 \)（减号），已知对称轴 \( x = 3 \)，过点 \( (0, 4) \)，怎么求解析式？和本题有什么区别？
答：首先，标准顶点式 \( y = a(x - h)^2 \) 的对称轴是 \( x = h \)，所以 \( h = 3 \)，解析式为 \( y = a(x - 3)^2 \)；代入点 \( (0, 4) \) 得 \( 4 = a(0-3)^2 = 9a \)，\( a = \frac{4}{9} \)，解析式是 \( y = \frac{4}{9}(x - 3)^2 \)。区别在于：本题是 \( x + h \)，对称轴是 \( x = -h \)；变式是 \( x - h \)，对称轴是 \( x = h \)——核心是“括号内是 \( x - 对称轴的值 \)”。
五、出题人视角 · 评价三问
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【学生答】问1：本题考查了二次函数的哪些核心知识点？为什么用顶点式设问？
【参考要点】命题意图：考查顶点式的结构理解（对称轴、顶点）、待定系数法、增减性，这是二次函数的基础，为后续学习一般式铺垫。关键判分点：\( h \) 的符号、\( a \) 的计算、顶点坐标、增减性区间。更优路径：顶点式比一般式更直接考查顶点特征，减少计算量，聚焦核心概念。 -
【学生答】问2：如果第（3）问中错判开口方向为向上（\( a > 0 \)），会导致增减性区间错成什么？如何快速检查？
【参考要点】错误后果：若认为 \( a = -\frac{1}{3} > 0 \)，会错答“当 \( x > -2 \) 时 \( y \) 增大”。检查方法：看 \( a \) 的符号——负数开口向下，正数开口向上；也可以取两个点验证（比如 \( x = -3 \) 时 \( y = -\frac{1}{3}(-3+2)^2 = -\frac{1}{3} \)，\( x = -2 \) 时 \( y = 0 \)，\( x = -3 < -2 \) 且 \( y = -\frac{1}{3} < 0 \)，说明左侧增大）。 -
【学生答】问3：本题有没有其他解法？比如用一般式 \( y = ax^2 + bx + c \) 求解？
【参考要点】可选解法：设一般式 \( y = ax^2 + bx + c \)，对称轴 \( x = -\frac{b}{2a} = -2 \)，得 \( b = 4a \)；代入点 \( (1, -3) \) 得 \( a + b + c = -3 \)；又因顶点式 \( y = a(x + 2)^2 = ax^2 + 4ax + 4a \)，故 \( c = 4a \)，联立得 \( a + 4a + 4a = -3 \)，\( a = -\frac{1}{3} \)，和顶点式结果一致。但一般式计算更繁琐，顶点式更高效——出题人用顶点式是为了考查对二次函数顶点特征的理解，而非计算能力。